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【１６】電場(electric field)と電位(electric potential)
　　帯電

物体が正[負]に電荷(electric charge)を帯びること。導体の場合の電荷は自由電子である。電子が不足している場合が正に，過剰になっている場合が負に帯電しているという。

異なる物質間の摩擦により電子の移動が起こって生じる現象。摩擦によって物質を構成する分子間の距離が接近し，温度も上昇することになり，電子の移動が起こると考えられるが，その機構は明らかになってない。金属の場合，電子を奪い合う優劣は仕事関数(仕事関数の詳細は「光電効果」の項参照)が関係していると考えられるが，不導体では仕事関数は決められない。高分子(アクリル，塩化ビニール，ポリエチレンなど)は鎖状の分子が不規則に絡み合って構成されていて電子を引きつける力は一様ではない。
  ガラスなどは電子が奪われやすい。炭素原子を中心に共有結合で成り立っている物質(ポリエチレン，テフロンなど)は電子を奪われにくく負に帯電しやすい。多くの場合，２種の物質間での摩擦で電子の移動が起こると，電子を奪った物質の方がエネルギーが低くなるが，分子によってきまる電子の状態が，電子を取り込んで低いエネルギー状態を作る場合，不導体は電子を集めやすい。
異種の金属を(摩擦させなく)接触させると，自由電子の移動が起こり，接触電位差が生じる。これは金属によって平衡状態で自由電子のもつ最大エネルギーが異なるためと考えられる。
摩擦によってどちらが正負に帯電するかを表にしたものが帯電列である。帯電列の左側にある物質が正，右にある物質が負に帯電する。
  例えば，毛皮とエボナイトでは毛皮が正，エボナイトが負に帯電する。エボナイトとポリスチレンではエボナイトが正，ポリスチレンが負に帯電する。つまり，相手によって正負が異なる。また物質の表面の状態によって異なる。
                                 正 ←                                                                                 → 負
　　　　　　　　　　　　　　　　　毛皮     水晶    フリントガラス 綿      絹      金属    エボナイト    ポリスチレン

(右図はバンデグラフ静電高圧発生装置 ベルトを回転させ摩擦電気を起こす装置。数万ボルトが発生する)

導体･････電荷の移動が容易な物質。例：金属(荷電粒子は自由電子)，電解質溶液(荷電粒子は正負のイオン)
不導体(絶縁体)･･･電荷の移動が容易でない物質。例：エボナイト，純水

電荷は正･負の２種しか存在しないが，同種の電荷は斥力，異種の電荷は引力が働く。また，帯電体の電荷の大きさ|Q|は，電気素量(電子１個の電荷 e＝1.6×10^-19)の大きさ|e|の整数倍である。   |Q|＝|e|×n (n：電子数)

エボナイトと毛皮を摩擦させると，毛皮が正，エボナイトが負に帯電する(下左図)。回転できる円筒上にエボナイトを置き，負の帯電体を近づけると斥力が働き回転する(下中図)。毛皮を近づけた場合引きつけられて回転する(下右図)。
             　　　　　　　　　

導体球に正の帯電体を近づけると帯電体に近い側に異種の負電荷，遠い側に同種の正の電荷が生じる。これが静電誘導である。導体中の自由電子が正の帯電体から引力を受けて移動した結果，電荷が分かれたためである。箔検電器の場合も同様に正の帯電体を近づけると，近い側の金属板に帯電体とは異種の負電荷，遠い側の箔には同種の正電荷が生じる。箔は正電荷どうしによる斥力によって開く。

           電気振り子の実験       

帯電してない導体球を絶縁糸でつり下げる	負の帯電体を近づけると帯電体側が正，反対側が負に帯電し，帯電した正電荷と負の帯電体が引き合う	接触させると負の帯電体の電荷が導体球に移する	負の電荷どうしで斥力が働き反発し合う

箔(はく)検電器を使った実験

正の帯電体を使ってはく検電器全体を正に帯電させる方法

箔検電器は上の金属板に，下部に薄箔をつけた金属棒を取付けてある。電荷があると，箔にある同種電荷の斥力で開く	正の帯電体を近づけると，静電誘導によって，金属板は負，箔は正に帯電する	正の帯電体を金属板に接触させると正電荷が移動し，箔検電器全体が正に帯電する	正の帯電体を遠ざけても箔検電器は一様に正に帯電する

正の帯電体を使ってはく検電器全体を負に帯電させる方法

正の帯電体を近づけると，静電誘導によって，金属板は負，箔は正に帯電する	金属板を接地(アース)すると帯電体より遠い側の正電荷が地球に移動するが，金属板上負電荷は帯電体の正電荷に引きつけられていて移動できない	接地を外しても箔の開きはそのまま。金属板の負電荷は，帯電体の正電荷に引きつけられているので移動できない	正の帯電体を遠ざけると金属板の負電荷が箔に移動し，箔検電器全体が負電荷に帯電する

ファラデーの氷桶の実験(1834年)                                                      

�@Aは口の細い金属容器で絶縁体で支持されている	�A正の帯電球Bを容器内に入れると静電誘導によって容器の外側が正，内側が負に帯電する。Bを中で移動させても箔の開きは変わらない。	�BBを取り出すと箔は閉じる	�CBを容器の内面に接すると，Ｂの正電荷と容器内面の負電荷が相殺し，外側だけが正に帯電し箔は開く
�DBを取り去ると全体が正に帯電し箔は開いている	�E �Dの状態で，帯電してないBを容器の中に入れてもBは帯電しない	�F帯電してないBを容器の外に接触させると，Bは正に帯電する	�GBを箔検電器に接すると全体が正に帯電し箔が開く

１６−２ 誘電分極(dielectric polarization)

不導体(絶縁体，誘電体)に上記と同様に正の帯電体を近づけると，帯電体に近い側に異種の負電荷，遠い側に同種の正の電荷が生じる。正負の電荷が現れることは，導体に起こる静電誘導と同じだが，原因が異なる。不導体の場合，自由電子の移動がない代わりに，分子内の電子のずれによって電荷に偏りが生じることが原因である。この場合の電荷を分極電荷(polarization charge)という。金属のような導体の場合は，電界によって自由に動ける自由電子のような電荷を真電荷というが，不導体の場合は電子はそれが属する個々の原子あるいは分子から離れることができず位置を少しずれることだけが許されるのでこのような電荷を束縛電荷という。

電界がない場合不導体に電荷が現れない       　　　　　        電界内にあると不導体表面に電荷が現れる

　　　静電誘導と誘電分極の比較

	静電誘導	誘電分極
類似点	電荷の現れ方電荷の現れ方
相違点	導体に起こる	不導体に起こる
	電荷を分離できる	電荷を分離できない
	真電荷	束縛電荷

１６−３ 静電気に関するクーロンの法則(Coulomb's law)

クーロンによって発見された電荷間に働く力についての実験式は左図のようなねじれ秤によって行われた。電荷を与え水平に細い絶縁糸でつられた棒と下の容器のふたの部分に取り付けられたもう一つの電荷を用意する。容器にはメモリが振られ，水平棒が回転する角度によって電荷間の力の大きさが測定できる。その結果，電荷q₁，q₂，互いの距離をrとすると，
         (16-1)
であった。kは次のように決められる。
SI単位系 (MKSA単位系)
真空中で，r＝1mとし，等量の電荷間に働く力の大きさがF＝ N になるような電荷を1C(クーロン)と定める。ε₀は真空中の誘電率でε₀＝＝8.854×10^-12[F/m]   Fはファラッド。ファラッドと誘電率についてはコンデンサーの項参照のこと。
つまり， である。誘電率ε の物質中でのクーロンの法則は [N]  である。
これをベクトル表示すると，    (は単位ベクトルである)
CGS静電単位系(CGS esu)    esu＝electric static unit
    現在使われてないが，次のように決められている。
    真空中でr＝1cmとし，等量の電荷間に働く力の大きさがF＝1dyn(ダイン＝g･cm/s2)であるような電荷を1CGSesu(≒[C])と定める。
    つまり，k＝1とする単位系であるので，クーロンの法則は [dyn]である。
             
例  質量1.0×10^-2Kg，電荷q_A=3.5×10^-7Cの電荷をもつ小球Aを天井から糸でつり下げ，電荷q_Bの電荷の小球Bとを同じ高さにしたら，小球   A，Bは引き合って0.30mの距離で小球Aは鉛直と30ﾟの角度を保って静止した。重力加速度を9.8m/s2とする。
  またk＝9×10⁹[N･m²/C²]とする。
　(1) 小球Aが小球Bから受けている静電気力はいくらか。
　(2) 電荷q_Bはいくらか。
  (3) その後，小球A，Bを接触させた。小球A，Bの大きさは等しいとする。
解 (1) 小球Aに働く力は求める力F，重力，糸の張力でこれらはつり合っている。左図よりF/mg＝tan30ﾟだから
      F ＝mgtan30ﾟ＝1.0×10^-2×9.8×＝5.7×10^-2N
(2) クーロン力の式から
       F＝9×10⁹×＝5.7×10^-2
    これを解き，引力だから q_B＝−1.6×10^-6C
                            (3) 小球A，Bを接触させると，電荷は小球A，Bの表面積に比例して分配される。接触後の総電荷は
　　                                 q＝q_A＋q_B＝(+3.5−1.6)×10^-6＝−1.25×10^-6＝−1.3×10^-6
                                 小球A，Bの大きさは等しいので等分されるから，q_A'＝q_B'＝−1.25×10^-6/2＝−6.3×10^-7C
　　　　　　　　　　　　　　　半径が1：n なら q_A'：q_B'＝１：n²に分配される。

１６−４ 電場(electric field)  ･･･ 電界ともいう

一般に電荷が静電気力を受ける空間を電場という。電場Eは，電荷q[C]が力F[N]を受けるときに
            (N/C)     (16-2)                  
で与えられベクトルである。
点電荷q[C]が距離r [m]の位置で作る電場Eは
  距離r の位置に電荷q ' を置くとクーロン力 を受ける。この力は16-2式のF と同じだから
        (N/C)   (16-3)
これをベクトル表示すると，    (は単位ベクトルである)
また，電場の向きは，正の電荷が受ける力の向きと定める。 

     電気力線

電界内に置かれた正の点電荷(これを試験電荷とよぶことがある)の受ける力を連続して描いた図で，電気力線は
        �@ 正電荷から出て負の電荷に入り途中で消えない
        �A 電場内の各点の接線は，その位置の電場の向きを示す
        �B 交わったり枝分かれしない
        �C 互いに反発し合い，縮もうとする
        �D 電場の強い場所では密に，弱い場所では疎(まば)らになる
という特徴を持っており，電気力線を見ると電場の様子がわかる。電気力線の本数は，電界がE[N/C]の位置で，電界に垂直な単位面積当たりE[本]引くものとする。

電気力線の例
点電荷	正負の点電荷	正の点電荷対
正の平板帯電板	平行板コンデンサー

実験による電気力線
正の点電荷	正負の点電荷	同種の点電荷
静電遮蔽(内側に電気力線なし)	平行板	ハサミ(避雷針を模す)

      ガウスの法則

「任意の閉曲面内から出る(入る)電気力線の総本数は，閉曲面内の総電荷Qの4πk(だから4πk＝1/ε)倍である」。
広がりのある帯電体が作る電界 E を求めるために有効である。

ε が一様な場合，4πk＝1/ε だから，電場と閉曲面が直交していれば電気力線の本数は である。

---

電場を求める手順
�@ 電荷を含む閉曲面を考える(対称性のある球，直方体など)
�A 閉曲面内の総電荷Qを求める
�B 閉曲面から出る(入る)電気力線の総本数N＝4πkを求める
�C 閉曲面の表面積Sを求める
�D 電場をE＝N/Sで求める

       帯電体の作る電場の例

導体球
   総電荷Q[C]が一様に表面に帯電した半径a[m]の導体球が作る球の中心から距離 r
   とする。
 　r＜a では，電荷が存在しないから電界はない。
   r＞a では，閉曲面として半径r の球を考える。
　表面積S は4πr²[m²]。この中の総電荷はQ[C]だから，
   この閉曲面からでる電気力線の総本数Nは4πkQ[本]である。よって，電界E は
                                E＝  (点電荷の作る電場と同じである)
球内に一様に帯電した球   総電荷をQ，球の半径をa[m]とする。
    r＜a：電荷密度をσとすると総電荷Q＝だから，球内の電荷は
    　　　　なので，電気力線総数はNはN＝4πk，電気力線のでる表面積SはS＝4πr²
             電場はE＝N/S＝4πk/4πr²＝＝
                                    　　　　　　　　⇒  E∝ r は万有引力と同形である。
　　　　　　　　　　　　r＞a：導体球の場合と同じになる。＝

無限に長い導体棒  電荷密度をσ(C/m)とする。
   筒の内部 E＝0
    軸からの距離r の筒外(長さl の部分を考える)
       N＝4πk･(σl )，S＝2πr･l
        E＝＝＝

無限に広い導体平面板 (地表のような場合)
　 表面電荷σ(C/m²) とする。
   導体の内部に電気力線はないから，電気力線は外に向かって出るだけ。電気力線が出る面積をS＝1m²とすると
     N＝4πk･(σ×1)＝4πkσ
     E＝＝4πkσ/1＝
   つまり，無限に広い帯電体と，電場は面に垂直で大きさは距離によらない。
   ただし，両面に帯電している場合は，E＝

１６−５ 電位(electric potential)とは

静電場中で電荷を移動させるのに要する仕事は，前後の位置だけに関係し，その経路には無関係である。つまり電気力は保存力である。電場内の基準点Bから他の点Aまで正の電荷を移動させるとき，電気力に抗して他から仕事をしてやらなければならない場合，AはBより電位が高いという。反対に電気力が仕事をする場合AはBより電位が低いという。
「帯電体から距離 r での点Ｐの電位は，基準点(無限遠)から正の点電荷を電界に逆らってゆっくりとＰ点まで移動させるのに要する外力のする仕事」。または，「Ｐ点から正の点電荷を基準点まで移動させるのに必要な電場のする仕事」と定義する。
点電荷Qから距離rでの電位はVは
             
　　　　         (16-4) である。  
1[C]の電荷を移動させるのにV[J]の仕事が必要だからq[C]の電荷を移動させるにはそのq倍の仕事が必要になり，電位差Vの２点間を移動させる仕事Wは
        　　　　W＝qV   (16-5) である。
　電位の単位は，1[V]＝1[J/C]で，1[C]の電荷を移動させるのに1[J]の仕事が必要な２点間の電位差が1[V]である。
　 電位はスカラー量である。単位V(ボルト)はボルタからとっている。

電場と電位差の関係
    一様な電場の場合
A，B点間の電位差をV(V)とすると，A，B間に置かれた正の点電荷が電場から受ける力はF＝qE(N)だから
静電気力(電場)が電荷q(C)を距離d(m)移動させる仕事W (J)は
   W＝Fd＝(qE)d＝q･Ed＝qV
       ∴  Ed＝V         E＝ (V/m) (16-6)   ⇒  電場は，電位の距離についての変化の割合である



    一様でない電場の場合
                で与えられる。(負号がついているのは，電位が下がる向きに電場の向きがあるからである)
         
電位の例 (それぞれの電場Eは上記帯電体の作る電界を参照のこと)
�@ 正の点電荷
 
 r＝∞でV＝0       ∴    C＝0  
    ∴  
 

�A 帯電導体球
  r＞a
 
  r＝∞でV＝0    ∴  C＝0       ∴  ＝
 r＜a はE＝0だから で一定

�B 球内に一様に帯電した球     電荷密度をσとする
r＞a：導体球の場合と同じで ， ＝
 r＜a：総電荷Q＝だから，球内の電荷は   ∴   E＝  
 
 r＝aで 連続性から(で r＝a) 
              　　　　　　　　　　　　 ∴    ＝
                                     図の ，

�C 無限に長い導体棒
 E＝＝
 
  r＝∞でV＝0とすると，棒の近傍(r≒0)でV＝∞となるので，棒の半径をa とすると，r＝a でV＝0として
   C＝2kσloga       ∴    

�D 無限に広い導体平面板(地表のような場合)
E＝，＝−4πkσr＋C
r＝0でV＝0 とすると，C＝0   
∴    V＝−4πkσr＝−
両面に帯電する場合は V＝−


電気力線と等電位線(面)の関係

電位の等しいところを結んでできた線(面)を等電位線(面)という。
等電位線(面)と電気力線は互いに直交している。下図で実線は電気力線,破線は等電位線。
電気力線に垂直な方向に静電気力の成分がないためである(等電位面に沿って電荷が移動しても電気的位置エネルギーは変化しない)。

電気力線と等電位面の関係の例
               　　　　　          
　　　　　　　　    　　　　　  

１６−６ 電場中の位置エネルギー

電場は保存力場だから，位置エネルギーを考えることができる。
このことから，点電荷Qから距離r の位置に置かれた電荷q のもつ静電気力による位置エネルギー Uは
　　　　    U＝qV＝q･＝  (16-7)
で，スカラー量である。

１６−７ 電場中の仕事

電場中で電位差がV[V]である２点間で，電位の低い位置から高い位置に正の電荷qをゆっくり移動させるために外力のする仕事はW＝qV ＞0，電場のする仕事はW＝−qV である。
電場中で外力(静電気力)が電荷を移動するためにする仕事の正負は，外力(静電気力)と移動方向が同じ場合に正，逆向きの場合，負である。
  外力のする仕事をW_F，静電気力(電場)のする仕事をW_fとする。
  V_A＞V_Bの場合
  電荷q＞0では
       BからAに移動すると， W_F＞0，W_f＜0 である。
  電荷q＜0では
     W_F＜0，W_f＞0 である。
(V_A＜V_Bの場合W_F，W_fの符号はそれぞれ上記と逆になる。また，q＜0の場合もWF，W_fの符号はそれぞれ上記と逆になる)
例  
  正の点電荷qを左図でA→B→C→D→E→Fとゆっくり移動するとき，外力のする仕事の符号を分けて答えよ。
  外力を加えて正の電荷を移動させるとき，電位の高い方へ移動させた場合が正，その逆が負，等電位間は0である。
    正：A→B，C→D
    負：E→F
    0 ：B→C，D→E

電場中を運動する荷電粒子の運動エネルギー
質量m，正電荷qの点電荷が電場から静電気力を受けてAからBに移動した(v_A＞v_Bとする)。
Aでの速さをv₀，Bでの速さをvとするとき，運動エネルギーの変化量は電場が電荷にした仕事に等しいから
       

(q＜0の場合はBからAに移動する)



電場内の導体
 電場内に導体を置くと，導体内の自由電子は外部電場Eと逆向きの力を受け外部電場と逆向きの電界E ' が発生する。
  自由電子はE＋E  '＝0となるまで移動し続けるので導体内の電場は0である。したがって導体内は等電位である。
    このため，導体によって囲まれた中に電気力線が入ることはない。このような現象を静電遮蔽という。左図のように金網で囲まれた中に箔検電器を入れ，外に正の帯電体を近づけると，金網の上部に負の電荷，金網の下部に正の電荷が静電誘導によって生じる。これらによる電場は図の下から上に向かう生じ，これが外部の帯電体による電場と打ち消し合うので箔は開かない。
  トンネルの中あるいはコンクリートの建物の中に電波が入りにくいのはこの現象のためである。電波の影響を避けるためには，金属板や金網などで覆うと有効である。
                 

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