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【１４】音波と発音体
１４−１ 音の回折，反射，屈折

媒質を伝わる縦波を音という。

音も波だから反射，屈折，回折，干渉現象を示す。
音の特徴を表す物理量として３つの量，高さ(振動数)，強さ，音色(波形)がある(音の３要素)。    音の波形を見る(人間の「あいうえお」とワイングラスなど)
高さ：人間に聞こえる音(可聴音)の範囲は20〜20000Hz(波長は1.7cm〜17m)である。コウモリ，イルカなどは20000Hz以上の音(超音波)を聞き取ることができる。
強さ：[波の強さ]参照
       音の場合も，強さI は I ∝(f A)²，つまり振動数，振幅それぞれの自乗に比例する。強さの単位はJ/sm²＝W(ワット)/m²である。
       音の強さはデシベル(dB＝deci Bel)とフォン(phon)で表す。
       参考 ウェーバー･フェヒナーの法則によると
              「振動数一定のとき，音の強さI の感覚はlog₁₀I に比例する」
dB(デシベル)
       ウェーバー･フェヒナーの法則をもとに，dBは次のように決められる。
           
       たとえば，10^-10J/m²･s の強さの場合，
       なお，デシ(deci)は1/10を表し，ベル（Bel）は2つの電力P₁ とP₂ の電力比を対数表示した log(P₁/P₂) を表す単位である。
フォン(phon)
       音から受ける刺激の大きさは，振動数によって異なる(右図参照)。
       1000Hzで20μPa(マイクロパスカル)で0ﾌｫﾝ，200μPaで20フォンとし，
       1000Hzで測定したときと同じ音の大きさがα(dB)のとき，αフォンとする。
       たとえば，人の会話は1mで60フォン，大声で100フォンである。

音速

静止乾燥空気中の音速v は，気温をt [℃]では
               v＝331.5＋0.6t [m/s]　          (14-1)
で与えられが，次のようにして求められる。
定数kを用いると音速v は  ････�@
分子量をM，物質量n (mol)の気体体積をVとすると 　pV＝nRT ･････�A， ････�B
�A�B式より      これを�@に代入して
温度をt (ﾟC)とすると，音速v_t は ････�C
0ﾟCのときの音速は331.5[m/s]だから
�C／�Dから
v_t ≒331.5×{1+t /(2×273)}＝331.5(1＋0.00183t)＝331.5＋0.61t (m/s)
　　　(ただし，｜x｜≪1のとき，(1＋x)ⁿ≒1＋nx の 近似式を使った)

---

上記の音速は，静止乾燥空気中の音速だが，空気中に水蒸気がある場合，湿度補正が必要になる。
気温をt℃，気圧をP，そのときの水蒸気だけの分圧をP’とすると，空気だけの分圧はP−P’で空気の密度をρ，ρ₁を空気の圧力をPに等温圧縮したときの密度とすると，
         
温度t，圧力P' の水蒸気の密度をρ₂，ρ'を水蒸気の圧力をPに等温圧縮した場合の密度とすると，
         
経験則によると等圧Pでの水蒸気と空気の密度の比はρ'/ρ≒5/8なので，空気･水蒸気の混合気体の密度は
         
よって，湿度のある空気中の音速は
         
        P '＝0とすると，上記の乾燥空気での音速である。

空気中の音速についての歴史
(1) ニュートンの考え。(断熱変化として捉えなかった)
    空気柱を想定し，そこに音波が伝わるとした。
  微小時間dt(s)に縮めた部分がdx 進むと，その速さvは
  また，その部分の運動量は(S ρδ)v であり，これが力積に等しいから
    Fdt＝(S ρδ)v ････�@
  空気の体積弾性率(Bulk ModuLus)をkとすると，
    ････�A   ∴  
    �@，�A式から
             Fdt＝･･･ 実際と合わない。失敗！
(2) ラプラスの考え(空気振動を断熱変化と考えた)
     断熱変化の式 をV について微分して
                ∴  
                 ∴    ･･･ �@
     ボイルシャルルの法則から これを�@に代入して
                   ()
                  

  体積弾性率は，
       弾性体の表面に一様な圧力pを加えて単位体積当りε だけ圧縮したとき（ε は体積ひずみ），p/ε をいう。この逆数が圧縮率。多くの固体で体積弾性率は10¹⁰〜10¹¹ N/m²
  音速の壁を越えるジェット機の図  (NASAによる)

気体中の音速は圧力に依存しない。可聴音範囲では振動数に関係しない。振幅が多いとき，多原子分子では，物質に特定の振動数付近でγ が振動数とともに変わるので，速さは振動数とともに増加する。100MHz程度では，分子的吸収があり必ず音速は増大する。         

固体，液体の音速を表す式は[13-1波動]参照のこと。
水の音速Vはt (℃)では
     V＝1403＋5t−0.06t ²＋0.0003t ³(m/s)
     (海水中では塩分のため速くなり，常温で 1500m/s)

それぞれの現象の例
反射：やまびこ，鳴き竜(日光日光輪王寺薬師堂，京都相国寺法堂，甲府甲斐善光寺金堂いずれも竜の絵が描かれている）)
屈折：冬の日没後などに遠くの音が聞こえやすい。上空で温度が高く，地表で温度が低いことが原因。
                                 
回折：塀の向こう側に音源をおいても，その音が聞こえる。姿が見えなくても音だけ回折するのは波長の違いによる。音の波長の方が光の波長より遙かに波長が長いためである。[13-2波の性質 回折 参照]
干渉：うなり(右図のように振動数の異なる(f₁，f₂とする)２つの音叉を同時に鳴らすと(それぞれの振幅はy₁，y₂)，合成音はy＝y₁＋y₂になり，元の振動数にない強弱であるうなりが現れる。
下図で時間Tの間に振動数f₁の音がn個， f₂の音がn＋1個あったとすると，それぞれの周期をT₁，T₂ とすると から
       T＝nT₁＝(n＋１)T₂     ∴        
         ∴      よって，
うなりの振動数f は   f＝| f₁−f₂|     (14-2) である。 つまり，うなりの振動数は２つの振動数の大きさの差で与えられる。
                                                                                                   

         うなりを聞こう(スピーカーのアイコンをクリックする)           

          (WindowsXP SP2でセキュリティ警告がでる場合、「開く」にして下さい)
400Hz の音  
　　　　　　　　　　　　　　　　400＋401Hzのうなり  
401Hzの音  

   三角関数を使った定式化

うなりをそれぞれの波源からの変位の和として求める。
�@ うなり
それぞれの振動数が f₁， f₂ (f₁＞f₂とする)の振幅A，速さv，波長が等しい波が互いに向かい合って干渉する場合，それぞれの変位が
         とする。重ね合わせの原理により，合成波の変位 y は
           ←
       f₁≒ f₂つまり，f₁−f₂≒0 の場合，(時間変動項)の１周期間に
      (振幅項)が緩やかに変化する。これがうなりである。
      特定の位置 x で(たとえばx＝0) の１秒間中の最大(最小)の回数をうなりの回数という。
     ｜｜が最大(最小)になる時間間隔 T は，x＝0 では
           π(f₁−f₂)T＝π       ∴  
            うなりの回数f は      
�A ２次元の干渉(波源が同位相の場合)
S₁P＝l_１，S₂P＝l₂とする。
   
     
       　　　　　　    点Pでの振幅は
            　　　　　　  2A||     ∴  ||＝nπ             ∴   ||＝nλ         ･･･強め合う
                           ||＝(2n＋1)    ∴  ||＝  ･･･弱め合う   (n＝0，±1，±2，±3，･･･)

クインケ管
干渉現象を使って，音の速さ，波長などを測定するために使われる装置で右図のように，半分だけ管の長さが変えられ装置である。Bから音を送り出しAで音を聞く。Qをゆっくり引き出すと長さ l 毎に音が小さくなる。
はじめに音が打ち消し合うのはB→P→A経由の音(右下図 �@)の山とB→Q→A経由の音の谷aが干渉した結果である。Qを伸ばして次に音が打ち消し合うのは，B→Q→A経由の音の谷bが�@の音と打ち消し合った結果である。これのことから，2l＝λ から波長を求めることができる。
[波の性質] で考えた干渉条件と同じ形で表せば
   経路差��l＝ が弱め合う条件である。
  干渉次数が1違う場合の経路差が2lだから，n＝0で��l＝，n＝1で��l＝だから
         2l＝λ を得ることができる。

例  クインケ管を使って音の干渉を調べたら，管をl＝8.5cm引き出す毎に音が小さくなった。
     音速を340m/sとすると，音源の振動数f はいくらか。

解  2l＝λ から，

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